Đề thi học sinh giỏi lớp 6 – 1
(Thời gian làm bài 120 phút)

Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức
a, Rút gọn biểu thức
b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản.
Câu 2: (2 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho và
Câu 3: (2 điểm)
a. Chứng tỏ n2 + 2006 không phải là một số chính phương với mọi n
b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.
Câu 4: (3 điểm)
a. Cho a, b, n ( N* Hãy so sánh và
b. Cho A = B = . So sánh A và B.
Câu 5: (1 điểm)
Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.
-------------------------Hết ----------------------------
















Đáp án đề số 1
Câu 1 (2đTách số hạng, nhóm, đặt thừa số chung và rút gọn ta được:

=
Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm).
Rút gọn đúng cho (0,75 điểm).
b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 ( 0,25 điểm).
Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ, nên d là số lẻ
Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] d
Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau.(0, 5 điểm)
Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm)
Câu 2: (2đ)
= 100a + 10 b + c = n2-1 (1)
= 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,5 điểm)
Từ (1) và (2) ( 99(a-c) = 4 n – 5 ( 4n – 5 99 (3) (0,5 điểm)
Mặt khác: 100 ( n2-1 ( 999 ( 101 ( n2 ( 1000 ( 11 (n(31 ( 39 (4n – 5 ( 119 (4) (0,5 điẻm)
Từ (3) và (4) ( 4n – 5 = 99 ( n = 26
Vậy: = 675 (0, 5 điểm)
Câu 3: (2 đ)
Giả sử n2 + 2006 là số chính phương.
Khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a( Z) ( a2 – n2 = 2006( (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,5 điểm).
+ Thấy : Nếu a, n khác tính chất (a ch½n, n lÎ hoặc ngược lại) thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) (0,5 điểm).
+ Nếu a, n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n2 và (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*)
(0,25 điểm).
Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,5 điểm).
b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3.
Vậy n2 + 2006 là hợp số. (0,5 điểm).
Câu 4: (3đ)
a. (2đ)
Ta xét 3 trường hợp