đề thi học sinh giỏi Toán 6 .9
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (1,5đ)
Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau và a>b. Chứng minh rằng:
(a, a+b)=1
(b, a-b) =1
Bài 2: (2.5đ)
Với q, p là số nguyên tố lớn hơn 5 chứng minh rằng:
A=P4–q4 240
Bài 3: (2đ)
Tìm các nguyên tố x, y thỏa mãn : (x-2)2 .(y-3) = - 4
Bài 4: (2đ)
Tính tổng: B =
Bài 5: (2đ)
Cho hai tia 0x và 0y không đối nhau, tia 0z nằm giữa hai tia 0x, 0y; tia 0t nằm giữa hai tia 0x và 0z. Chứng tỏ rằng tia 0t nằm giữa hai tia 0x, 0y và tia 0z nằm giữa hai tia 0t và 0y.


-----------------------------Hết đề thi-------------------------------
















Đáp án đề Toán 6 .9
Bài 1: (1,5đ)
Ta đặt: (a, a+b) =d 0,25đ
Suy ra a d và (a+b) d
Vậy [ (a+b)-a] d hay bd 0,25đ
Mà ad nên d là ước chung của a và b
Nhưng a và b là hai số nguyên tố cùng nhau nên d =1
Vậy (a, a+b) =1 (đpcm) 0,5đ
Ta đặt: (b, a-b)=d
Suy ra b d và (a-b) d
Vậy [ (b+(a-b] d hay ad 0,25đ
Mà bd nên d là ước chung của a và b
Nhưng a và b là hai số nguyên tố cùng nhau nên d =1
Vậy (b, a-b) =1 (đpcm) 0,25đ
Bài 2: (2,5đ)
Ta có: A=p4 - q4 = p4 - q4+1-1
=(p4 – 1 ) – (q4- 1); 240 = 8 .2.3.5 0,5đ
Muốn chứng minh A 240 ta chứng minh A đồng thời chia hết cho 8, 2, 3, 5
* Chứng minh =(p4 – 1 ) 8
Do p >5 nên p là số lẻ
p4 –1 = (p-1) (p+1) (p2 +1)
--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p-1) (p+1) 8 0,5đ
* Chứng minh =(p4 – 1 ) 2
+ Do p là số lẻ nên p2 là số lẻ -> p2 +1 2 0,25đ
* Chứng minh =(p4 – 1 ) 3
p > 5 nên p có dạng:
p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1 = 3k 3 --> p4 – 1 3
hoặc p = 3k + 2 --> p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k +3 3 --> p4 -1 3 0,25đ
* Chứng minh =(p4 – 1 5
p có thể là dạng:
P = 5k +1 --> p – 1 = 5k + 1 - 1 = 5k 5 --> p4 - 1 5
hoặc p = 5 k+ 2 --> p2 + 1 = (5k +2)2 +1 = 25k2 + 20k +5 5 --> p4 - 1 5
0,25đ
hoặc p = 5k +3 --> p2 +1 = 25k2 + 30k +10--> p4 –1 5
hoặc p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5 5 --> p4 – 1 5 0,25đ
Vậy p4 – 1 8 . 2. 3 . 5 hay p4 – 1 240
Tương tự ta cũng có q4 - 1 240
Vậy: [(p4 - 1) – (q4 –1)] 240 hay A=P4–q4 240 (đpcm) 0,5đ



Bài 3: (2đ)
Theo bài ra (x-2)2 .(y-3) = - 4 ;