đề thi học sinh giỏi Toán 8 .1
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2đ)
Chứng minh đẳng thức sau:
P=(a+b+c)2 + (b+c-a)2(c+a-b)2(a+b-c)2= 4(a2+b2+c2)
Bài 2: (1,5đ)
Chứng minh rằng:
Nếu m là một số nguyên thì (2m+1)-1 chia hết cho 8;
Hiệu các bình phương hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 4;
Hiệu bình phương hai số lẻ liên tiếp chia hết cho 8.
Bài 3: (2đ)
Phân tích thành nhân tử:
A=(x+y+z)3-x3-y3-z3
Bài 4: (2đ)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
B = x2-2xy+2y2-4y+5
Bài 5: (2,5đ)
Cho hình thang ABCD (BC//CD), các đường phân giác trong của và giao nhau ở E, của và giao nhau ở F.
Chứng minh EF đi qua trung điểm của AB và CD.
Nếu đường phân giác trên gặp nhau tại 1 điểm thì hình thang ABCD C có gỉ đặc biệt.


-----------------------------Hết đề thi-------------------------------












Đáp án đề Toán 8 .1
Bài 1: (2đ)
Viết vế trái của đẳng thức dưới dạng:
[(b+c)+a]2 + [(b+c)-a)]2+[a+(b-c)]2+[(a-(b-c)]2 0,5đ
Ta nhận xét rằng:
(A+B)2+(A-B)2=2(A2+B2) 0,5đ
Ta có (áp dụng 2 cặp tương ứng):
P=2[(b+c)2+a2] + 2[a2+(b-c)2] 0,5đ
=4a2+2[(b+c)2+(b-c)2]
=4a2+2.2(b2+c2)
=4(a2+b2+c2) (đpcm) 0,5đ

Bài 2: (1,5đ)
a. 0,5đ
Ta có:
(2m+1)2-1=(2m+1+1)(2m+1-1) 0,25đ
=4m(m+1) m(m+1) là hai số nguyên liên tiếp nên chắc chắn có một số chẵn. Do vậy tích m(m+1) chia hết cho 2.
Vậy 4m(m+1) chia hết cho 8. 0,25đ
b. 0,5đ
Lấy một số chẵn là 2n thì số chẵn liền sau nó là 2n+2
Hiệu:
(2n+2)2-(2n)2=4(n+2), chia hết cho 4 0,5đ
c.0,5đ
Lấy một số lẻ là 2n+1 thì số lẻ liền trước là 2n-1
Ta xét hiệu;
(2n+1)2- (2n-1)2
= [(2n+1)+ (2n-1)][ (2n+1)- (2n-1)] 0,25đ
= 8n, chia hết cho 8 0,25đ
Bài 3: (2đ)
A=(x+y+z)3-x3-y3-z3
= [(x+y+z)3-x3] –(y3+z3) 0,5đ
= (x+y+z-x)[( x+y+z)2 + (x+y+z)x+x2]- (y+z)( y2-yz+z2)
= (y+z)[( x+y+z)2 + (x+y+z)x+x2]- (y+z)( y2-yz+z2)
= (y+z)( x2+y2+z2 +2xy+2xz +2yz +x2+xy+xz+x2-y2+yz-z2) 0,5đ
= (y+z)( 3x2+3xy+3xz +3yz)
= (y+z)( 3x2+3xy+3xz +3yz) 0,5đ