đề thi học sinh giỏi Toán 8 .2
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,5đ)
Phân tích thành nhân tử:
A=(a+b+c)3+(a+b-c)3+(b+c-a)3+(c+a-b)3
Bài 2: (2đ)
Chứng minh rằng không thể có các số nguyên a, b, c, d nào thỏa mãn:
abcd-a=1961
abcd-b= 961
abcd-c= 61
abcd-d= 1
Bài 3: (2đ)
a.So sánh cặp số:
A= 1993.1995 và B=19942
b.Cho P=

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.
Bài 4: (1,5đ)
Chứng minh rằng mọi giá trị của biến số x các đa thức sau đây nhận giá trị dương:
P= x2-6x+10
Q= x2+x+1
R=(x-3)(x-5)+4

Bài 5: (2đ)
Cho nhọn trên 0x lấy 2 điểm A và B, trên 0y lấy 2 điểm C và D sao cho AB=CD, M và N là điểm giữa của AC và BD
Chứng minh rằng MN//0Z ( 0Z là phân giác góc

-----------------------------Hết đề thi-------------------------------







Đáp án đề Toán 8 .2
Bài 1: (2,5đ)
Phân tích thành nhân tử:
A=(a+b+c)3+(a+b-c)3+(b+c-a)3+(c+a-b)3
Đặt:
a+b-c=x (1)
b+c-a=y (2)
c+a-b=z (3)
Cộng vế với vế ta được a+b+c= x+y+z (4) 0,5đ
Ta thay (1), (2), (3), (4) vào đầu bài ta được:
A=(x+y+z)3-x3-y3-z3
= [(x+y+z)3-x3] –(y3+z3) 0,5đ
= (x+y+z-x)[( x+y+z)2 + (x+y+z)x+x2]- (y+z)( y2-yz+z2)
= (y+z)[( x+y+z)2 + (x+y+z)x+x2]- (y+z)( y2-yz+z2)
= (y+z)( x2+y2+z2 +2xy+2xz +2yz +x2+xy+xz+x2-y2+yz-z2) 0,5đ
= (y+z)( 3x2+3xy+3xz +3yz)
= (y+z)( 3x2+3xy+3xz +3yz)
= 3(y+z)[(x2+xy)+(xz +yz)]
= 3(y+z)[x(x+y)+z(x +y)]
= 3 (x+y)(y+z)(x +z) (5) 0,5đ
Thay Ta thay (1), (2), (3) vào (5) ta được:
A=3(a+b-c+ b+c-a)( b+c-a+ c+a-b)(a+b-c+ c+a-b)
= 3(b+ b)( c+ c)(a+a)
= 24abc 0,5đ
Bài 2: (2đ)
Chứng minh bằng phản chứng:
Giả sử các số nguyên a, b, c, d nào thỏa mãn các đẳng thức đã cho.
Phân tích vế trái đẳng thức thành nhân tử ta có:
a(bcd-1) =1961 (1)
b(acd-1) = 961 (2) 0,5đ
c(abd-1) = 61 (3)
d(abc-1) = 1 (4) 0,5đ
Vế phải của (1) là một số lẻ do đó vế trái phải là tích của 2 số lẻ, suy ra a là một số lẻ. Tương tự như vậy, từ (