đề thi học sinh giỏi Toán 8 .5
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2đ)
Chứng minh rằng tổng:
A= 71+72+73+74+...+74k
(trong đó k là số tự nhiên) chia hết cho 400.
Bài 2: (2đ)
a) Phân tích biểu thức sau ra nhân tử:
A= x3(x2 – 7)2 – 36x
b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh biểu thức:
n3 – (n2 – 7) – 36n
luôn luôn chia hết cho 7 với mọi số nguyên n.
Bài 3: (2đ)
Chứng minh rằng nếu:
với x
y ; xyz
0 ; yz
1 ; xz
1.
thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
Bài 4: (2đ)
a) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất:
x2 + x + 1
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P(x)= 2+x-x2
Bài 5: (2đ)
Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. M, K và N lần lượt là trung điểm của AH, CD và BH.
Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành.
Chứng minh BM MK

-----------------------------Hết đề thi-------------------------------









Đáp án đề Toán 8 .5
Bài 1: (2đ)
Ta nhóm các hạng tử của tổng theo cách:
A= (71+72+73+74+) + (75+76+77+78+) +...+(74k-3+74k-2+74k-1+74k) 0,5đ
= (71+72+73+74+) + 74(71+72+73+74) +...+74k-4 (71+72+73+74)
= (71+72+73+74)(70+74+78+712+...+74k-4)
= 7(1+7+72+73)(1+74+78+712+...+74k-4)
= 7(1+7+49+343)(1+74+78+712+...+74k-4)
= 7(1+7+49+343)(1+74+78+712+...+74k-4)
7(1+7+49+343)(1+74+78+712+...+74k-4) 0,5đ
Đặt 1+74+78+712+...+74k-4=M 0,5đ
A=7.400.M
Vậy A chia hết cho 400. 0,5đ

Bài 2: (2đ)
a) Phân tích biểu thức sau ra nhân tử:
A= x3 (x2 – 7)2 – 36x
= x[x2(x4-14x2 + 49) – 36]
= x(x6-14x4 + 49x2 – 36)
= xx6- 9x4) – (5x4 - 45x2) + (4x2 - 36)
= x[ x4(x2- 9) – 5x2(x2 - 9) + 4(x2 - 9)] 0,5đ
= x(x2- 9)( – 5x2+ 4)
= x(x2- 9)( – 4x2 - x2+ 4)
= x(x2- 9)( – 4x2 - x2+ 4)
= x(x2- 9)[x2( x2– 4) - (x2- 4)]
= x(x2- 9)(x2 – 4)(x2-1)
= x(x+3) (x-3) (x+2) (x-2) (x+1) (x-1) 0,5đ
b) Theo kết quả trên ta có:
n3 (n2 – 7)2 – 36n
= n(n+3) (n-3) (n+2) (n-2) (n+1) (n-1)
hay xếp theo thứ tự tăng dần các nhân tử như sau:
(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) 0,5đ
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp, trong 7 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 7, nên tích chia hết cho 7, tức là biểu