đề thi học sinh giỏi Toán 8 .6
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2đ)
Chứng minh rằng với mọi n Z:
A(n) = n(n2+1) (n2+4) 5
Bài 2: (2đ)
Cho 4a2 + b2 = 5ab với 2a > b > 0
Tính số trị của phân thức:
P=
Bài 3: (1,5đ)
Phân tích thành nhân tử:
x3+ y3+ z3- 3xyz
Bài 4: (2,5đ)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
9
Bài 5: (2đ)
Cho hình vuông ABCD, vẽ về phía trong của hình các góc 150 (2 góc này cùng chung cạnh DC và 2 cạnh kia giao nhau ở O). Chứng minh tam giâc AOB đều ?

-----------------------------Hết đề thi-------------------------------













Đáp án đề Toán 8 .6
Bài 1: (2đ)
Ta xét mọi trường hợp khi chia n Z cho 5, ta có số dư là 0, 1, 2 .
Trường hợp 1:
r =0 n 5 0,5đ
Trường hợp 2:
r = 1n = 5k 1
n2 = 25k 10k+1
n2+4 5 0,5đ
Trường hợp 3:
r = 2n = 5k 2
n2 = 25k 20k+4
n2+1 5 0,5đ
A(n) là tích của 3 thừa số, trong mọi trường hợp đều có một thừa số chia hết cho 5. Vậy A(n) 5, với mọi n Z (đpcm) 0,5đ
Bài 2: (2đ)
Từ 4a2 + b2 = 5ab, ta có:
4a2 - 4ab – ab + b2 = 0 0,5đ
4a (a- b) – b(a - b) = 0
a- b)(4a - b) = 0 (*) 0,5đ
Vì 2a > b > 0 nên 4a - b 0
Vậy từ (*) suy ra a - b = 0 tức là a = b 0,5đ
Thay a = b vào P ta được:
P= = = = (do a0,5đ
Bài 3: (1,5đ)
Phân tích thành nhân tử:
x3+ y3+ z3- 3xyz
=( x3+3x2y+3xy2 +y3)+ z3- 3xyz -3x2y-3xy2 0,5đ
= (x+ y)3)+ z3- 3xyz -3x2y-3xy2
=[(x+ y)3)+ z3]- (3xyz +3x2y+3xy2)
=(x+ y+ z)[(x+y)2- (x+y)z +z2] - 3xy(x +y+z) 0,5đ
=(x+ y+ z)(x2 + 2xy+ y2- xz - yz + z2 - 3xy)
=(x+ y+ z)(x2 + y2+ z2 - xz - yz – xy) 0,5đ


Bài 4: (2,5đ)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
9
Đặt: x ; y = ; z0,5đ
Vế trái của đẳng thức cần chứng minh sẽ trở thành:
(x + y + z3 + (*) 0,5đ
Ta có:



a-b+c)
hay a-b+c-c+c) a-b-c+2c)
2c-(a+b+c)] theo bài ra: a+b+c = 0 nên:
0,5đ
áp dụng hoán vị vòng y z x y
c a b c ta được:
= + + 0,5đ
Theo kết quả bài 3
x3+ y3+ z3- 3xyz = (x+ y+ z)(x2 + y2+ z2 - xz - yz – xy)
Hay a3+ b3+ c3- 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2+ c2 - ab - bc – ac)
Bài ra a+ b+ c =0 nên a3+ b3+ c3- 3abc = 0