đề thi học sinh giỏi Toán 8 .7
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2đ)
Tìm chữ số sau cùng của:
a) Số 6713 ; b) Số 21000
Bài 2: (1,5đ)
Giả sử:
x= ; y= ; z=
Chứng minh rằng:
(1+x)(1+y)(1+z)= (1-x) (1-y) (1-z)
Bài 3: (2đ)
Giải phương trình:





Bài 4: (1,5đ)
Cho x > y > 0 . Chứng minh rằng:
<
Bài 5: (1,5đ)
Cho tứ giác ABCD có P và Q là trung điểm của AB và CD. M và N là trung điểm của các đường chéo AC và BD.
Chứng minh nếu MN PQ thì BC = AD .
Bài 6: (1,5đ)
Cho tam giác có ba góc nhọn ABC với ba đường cao AA’, BB’. CC’ cắt nhau tại H. A1, B1, C1 là các điểm đối xứng của H qua BC, AC và AB. Chứng minh rằng tổng:
+ không đổi


-----------------------------Hết đề thi-------------------------------

Đáp án đề Toán 8 .7
Bài 1: (2đ)
Tìm chữ số sau cùng của:
a) Số 6713
Ta có (mod 10) 0,5đ
Do đó (mod 10) với mọi n > 2
nghĩa là chữ số sau cùng của Số 6713 là 6 0,5đ
b) Số 21000
Ta có: mod 10) 0,5đ
1000 = 4.250
Nên 21000 = 24.250= (24)250
21000 6250 6 (mod 10)
Tức là số sau cùng của số 21000 cũng là 6 0,5đ

Bài 2: (1,5đ)
(1+x)(1+y)(1+z) = (1-x) (1-y) (1-z)
(*)
Ta thực hiện vế trái:
Thay x= vào ta được:
= = 0,5đ
Hoán vị vòng x y z x và a b c a
ta được: ; 0,5đ
Thay vào vế trái của (*)
1
Vậy vế trái bằng vế phải hay (1+x)(1+y)(1+z)= (1-x) (1-y) (1-z) (đpcm).

0,5đ

Bài 3: (2đ)
a) 1đ



0,5đ
0,5đ

b) 1đ


Do:
x2 +2x+2 = (x2+2x+1)+1 = (x+1)2+1>0 với mọi x(R
x2 +2x+3 = (x2+2x+1)+2 = (x+1)2+2>0 với mọi x(R (*)
Nên điều kiện là: x (R 0,5đ

Đặt t= x2+2x+3=> x2 +2x+2 = t-1 , Từ (*) nên điều kiện : t
2
Do đó trình trở thành:



+
=


6t2 – 12t + 6t2 – 12t + 6 = 7t2 – 7t

5t2 – 17t + 6 = 0

t2 –
+
= 0

t2 –
-
+
= 0

(t2 –
) – (
-
) = 0

t(t –
) – 3(t-
) = 0

(t-
) (t - 3) = 0

nhận), loại)
Với t= 3 , ta có x2+2x+3 =3

x(x+2) =0

x=0 , x = -2
Vậy nghiệm của phương trình là : x=0 , x = -2 0,5đ

Bài 4: (1,5đ)
Do x > y > 0 nên x + y 0.
Theo tính chất cơ bản của phân thức ta có:
= = (1) 0,5đ
Mặt khác, do x > y > 0 nên