ề thi học sinh giỏi Toán 8 .9
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2đ)
Giải phương trình:
2- = 2
Bài 2: (2,5đ)
a) Chứng minh rằng:
A(n) = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n
chia hết cho 24 với mọi n N
b) Chứng minh rằng các số có dạng:
n4 – 4n3 – 4n2 + 16n
với n chẵn và lớn hơn 4 thì chia hết cho 384
Bài 3: (2,5đ)
Tìm ba số x , y , z biết:
a) với x + y – z =10.
b) với 2x +3y = -30.

Bài 4: (3đ)
Cho tam giác ABC, N là trung điểm của đoạn AB , M là trung điểm của đoạn AC. P và Q nằm trên BC sao cho BP = PQ = QC. BM cắt NP và AQ tại K và L.
So sánh diện tích tứ giác KLQP với diện tích tam giác ABC.

-----------------------------Hết đề thi-------------------------------








Đáp án đề Toán 8 . 9
Bài 1: (2đ)
Ta có: = x nếu
-x nếu x<0
và = x+1 nếu x
-(x+1) nếu x<-1 0,5đ
Ta lập bảng sau đây:

-1 0

2
 -2x -2x 0 2x


 -(x+1) 0 x+1 x+1

2-
 -2x +(x+1) -2x –(x+1) 2x-(x+1)

 0,5đ
Do đó ta có:
1) Với x<-1
-2x +(x+1) = 2 x = - 1 (loại)
2) - 1 x < 0
- 2x – x – 1 = 2 x = - 1 0,5đ
3) Với x
2x – x – 1 = 2 x = 3 0,5đ
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm số là -1 và 3
Bài 2: (2,5đ)
a) 1 đ
Ta phân tích thành nhân tử :
A(n) = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n(n+1)(n+2)(n+3) 0,5đ
Đa thức phân tích được là tích của bốn nguyên liên tiếp nên bao giờ cũng có một số chia hết cho 2 và một số khác chia hết cho 4. Thật vậy:
Nếu n = 2k thì n + 2 = 2k + 2 = 2(k+1) do đó:
Khi k chẵn thì n 4 còn n + 2 2
Khi k lẻ thì n + 2 4 còn n 2
Tương tự như vậy, nếu ta xét n + 1 = 2k thì trong hai số n + 1 và n + 3 có một số chia hết cho 4, số kia chia hết cho 2.
Do đó: A(n) =n(n+1)(n+2)(n+3) 2.4 = 8
Ta lại có: n(n+1)(n+2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3
mà (3;8) =1 nên A(n) 3.8 = 24 (đpcm) 0,5đ
b) 1,5đ
Ta phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử:
A = n(n-2) (n+2) (n- 4) 0,5đ
Vì n chẵn và lớn hơn 4 nên ta đặt n = 2k + 2 (k >1) và biểu diễn theo k, ta có: A = (2k + 2) (2k) (2k + 4) (2k -2) 0,5đ

= 16k(k-1)(k+1(k+2)
= 16(k-1)k(k+1(k+2)
Ta nhận thấy (k-1)k(k+1(k+2) là tích của bốn số nguyên dương liên